Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR Oleh : WIDIYANTO/0103512107 Secara runtut materi ini akan membahas tentang : kalimat pertanyaan, kalimat terbuka, pengertian persamaan linear, menentukan penyelesaian PLSV, penyelesaian persamaan linear dua variabel, pengertian pertidaksamaan linear satu variabel, menentukan bentuk setara dari PtLSV, penyelesaian PtLSV, dan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel. A. Kalimat Pernyataan Saudara pasti sudah mempelajari tentang jenis- jenis kalimat, seperti : kalimat tanya, kalimat berita, dan kalimat perintah. Coba berikan contoh tentang kalimat- kalimat itu. Pernahkah kamu menjawab pertanyaan Bapak atau Ibu dosen? Jika pernah, bagaimana jawaban yang kita kemukakan itu ? Benar atau salah ? Jika kita menjawab dengan lengkap, sebaiknya jawabannya berupa kalimat. Sebagai contoh : Berapa banyak siswa di kelasmu ? Contoh jawabannya adalah ” Banyak siswa di kelas saya ada 13 orang ” Perhatikan kalimat berikut ini : a. Banyak pemain sepak bola dalam satu tim ada 11 orang b. Mata uang negara Inggris adalah Dollar c. Balok merupakan bangun ruang d. 13 adalah bilangan prima g. Bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil hasilnya adalah bilangan genap B. Kalimat Terbuka Contoh masalah : 1. Suatu hari Ricki mambawa sebuah tas yang berisi buku. Sebelum tas dibuka Ricki berkata pada temannya ” banyak buku dalam tas ada 9 buah ”. Bagaimana pendapat anda tentang ucapan Ricki ?. Benar atau salah ? 2. Perhatikan kalimat ” 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5 ”. Apakah kita dapat menentukan kalimat itu benar atau salah ? Kita tidak dapat menentukan apakah kalimat itu benar atau salah, karena ” suatu bilangan” pada kalimat itu belum diketahui nilainya. Benar atau salahnya bergantung pada berapakah ” suatu bilangan ” itu. Jika ” suatu bilangan” diganti dengan 4, maka kalimat itu menjadi ” 9 dikurangi 4 hasilnya 5 ”, kalimat ini adalah kalimat yang benar. Jika ” suatu bilangan” diganti dengan 2, maka kalimat itu menjadi ” 9 dikurangi 2 hasilnya 5 ”, kalimat ini adalah kalimat yang salah. Kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat terbuka. ” suatu bilangan ” pada kalimat di atas belum diketahui nilainya. Dalam matematika, sesuatu yang belum diketahui nilainya dinamakan variabel atau peubah. Biasanya disimbolkan dengan huruf kecil x, y, a, n atau bentuk yang lain. ” 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5”. Jika suatu bilangan diganti dengan x, maka kalimat itu dapat ditulis dalam simbol matematika adalah 9 – x = 5. C. Pengertian Persamaan Linear Contoh masalah : Sherly membeli pensil sebanyak 20 buah. 1. Sesampai dirumah, adiknya meminta beberapa pensil, ternyata pensilnya sisa 17 buah, berapa pensil yang diminta adiknya ? 2. Jika Sherly membutuhkan 8 pensil, dan sisanya dibagikan rata kepada keempat adiknya. Berapa banyak pensil ? 3. Berapa pensil yang diterima oleh masing- masing adiknya ? Pada masalah di atas : • Jika banyak pensil yang diminta oleh adik Sherly dimisalkan x buah, maka diperoleh kalimat : 20 – x = 17 • ¨ Manakah variabel atau peubah pada kalimat itu ? • ¨ Ada berapa variabelnya ? • ¨ Apakah 20 – x = 17 merupakan kalimat terbuka ? • ¨ Pada kalimat 20 – x = 17 mengunakan tanda hubung ” = ” • ¨ Pada kalimat 20 – x = 17 pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu. Jika banyak pensil yang diperoleh masing- masing adik Sherly dimisalkan n, maka diperoleh persamaan 8 + 4n = 20 ¨ Jika n diganti dengan 5, maka kalimat itu menjadi : 8 + 4(5) = 20. Dan bernilai salah ¨ Jika n diganti dengan 3, maka kalimat itu menjadi : 8 + 4(3) = 20. Dan bernilai benar Pengganti n supaya 8 + 4n = 20 menjadi benar adalah 3. D. Menentukan Penyelesaian PLSV Pada bagian ini kita akan mempelajari cara menentukan penyelesaian dari persamaan linear satu variabel. Menyelesaikan persamaan, sama artinya dengan menentukan pengganti variabel sehingga persamaan menjadi bernilai benar. Untuk menentukan penyelesaian persamaan linear satu variabel, kita gunakan aturan persamaan yang setara, yaitu kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama. CONTOH : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut dengan peubah pada himpunan bilangan bulat. 1. 3x + 5 = 2x + 3 3x + 5 – 5 = 2x + 3 – 5 (tiap ruas dikurangi 5) 3x = 2x – 2 3x – 2x = 2x – 2x – 2 (tiap ruas dikurangi 2x) x = - 2 HP = {-2} 2. 4a + 8 = 10a + 2 4a + 8 – 8 = 10a + 2 – 8 (tiap ruas dikurangi 8) 4a = 10a – 6 4a – 10a = 10a – 10a – 6 (tiap ruas dikurangi 10a) -6a = -6 a = 1 HP = {1} E. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel. Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari system tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier. Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu: 1. Metode Substitusi 2. Metode Eliminasi 3. Metode Determinan. Contoh : 1. Metode Substitusi Carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 ! Jawab: Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = ... atau x = .... Misal persamaan x + 4y = 23 dirubah menjadi x = 23 – 4y. Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu. x = 23 - 4y 2x + 3y = 21 2(23 - 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21 25 = 5y y = 5 Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 5 ke dalam salah satu persamaan. y = 5 2x + 3y = 21 2x + 3(5) = 21 2x + 15 = 21 2x = 21 – 15 x = 6/2 x = 3 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah HP = (3,5) 2. Metode Eleminasi Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3x - 2y = 7 dan 2x + 4y = 10 Jawab: Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y 3x - 2y = 7 │x 2 6x – 4y = 14 2x + 4y = 10 │x 1 2x + 4y = 10 + 8x + 0 = 24 8x = 24 x = 24/8 x = 3 Untuk mendapatkan nilai y, substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan. x = 3  3(3) - 2y = 7 -2y = 7 – 9 2y = 2 y = 1 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah HP = (3,1) 3. Metode Determinan (Cramer Rule) ax + by = c dx + ey = f Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x - 2y = 7 dan 2x + 4y = 10 akan diselesaikan dengan cara determinan: Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah HP = (3,1) F. Pengertian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Mungkin suatu hari anda pernah lewat depan gedung bioskop, di situ anda bisa melihat poster atau gambar film yang akan di putar. Apakah anda tahu arti dari kalimat ”17 tahun ke atas ?” Arti dari kalimat ” 17 tahun ke atas ” adalah yang boleh menonton film tersebut adalah orang yang sudah berusia sama atau lebih dari 17 tahun. Perhatikan kalimat matematika U > 17 1. Apakah kalimat itu memuat variabel ? 2. Berapa banyak variabel ? 3. Berapa pangkat dari variabelnya ? 4. Apakah ” u ≥ 17 ” marupakan kalimat terbuka ? G. Menentukan Bentuk Setara dari PtLSV (Dengan cara kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, dan dibagi dengan bilangan yang sama). Tentu saudara masih ingat tentang persamaan yang setara, yaitu persamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama. Demikian juga pertidaksamaan yang setara, yaitu pertidaksamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama. Contoh : 1. 3x – 9 > 6 2. 3x > 15 Jika peubah pada pertidaksamaan no 1 dan 2 adalah { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, maka : HP dari pertidaksamaan 3x – 9 > 6 adalah { 6, 7, 8, 9 10 } HP dari 3x > 15 adalah { 6, 7, 8, 9, 10 } Jadi 3x – 9 > 6 setara dengan 3x > 15 H. Menentukan bentuk setara dari PtLSV dengan cara tiap ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. Perhatikan pernyataan 2 > - 3, merupakan pernyataan yang bernilai benar. 1. Jika tiap ruas ditambah 4, maka diperoleh : 2 > -3 2 + 4 > -3 + 4 6 > 1 (Pernyataan yang bernilai benar) 2. Jika tiap ruas dikurangi 1, diperoleh : 2 > -3 2 – 1 > -3 – 1 1 > -4 (Pernyataan yang bernilai benar) Mengalikan atau membagi dengan bilangan positif yang sama. 1. Perhatikan pernyataan 4 < 10, yang merupakan pertanyaan yang bernilai benar. 4 < 10 4 x 3 < 10 x 3 (kedua ruas dikalikan 3) 12 < 30 (merupakan pernyataan yang bernilai benar) 2. 4 : (-2) < 10 : (-2) (kedua ruas dibagi 2) -2 < -5 (merupakan pernyataan yang bernilai salah) -8 < -5 (pernyataan yang benar) I. Menentukan Penyelesaian PtLSV Menentukan penyelesaian PtLSV sama artinya mencari pengganti variable sehingga pertidaksamaan menjadi benar. Untuk menentukan penyelesaian PtLSV kita gunakan aturan pertidaksamaan yang setara yaitu kedua ruas ditambah, dikurangi, dikali dan dibagi dengan bilangan yang sama. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk peubah pada {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} untuk : a. 8n – 1 < 4n + 7 b. 3x + 4 > 5x – 6 c. 3 ( 3y + 1 ) ≥ 4y + 13 Jawab : a. 8n – 1 < 4n + 7 8n – 1 – 1 < 4n + 7 + 1 8n < 4n + 8 8n – 4n < 4n – 4n + 8 4n < 8 4n : 4 < 8 : 4 n < 2 jadi HP = {0,1} b. 3x + 4 > 5x – 6 3x + 4 – 4 > 5x – 6 – 4 3x > 5x – 10 3x – 5x > 5x – 5x – 10 -2x > - 10 -2x : -2 > - 10 : -2 x > 5 jadi HP = {6} c. 3 ( 3y + 1 ) ≥ 4y + 13 9y + 3 ≥ 4y + 13 9y + 3 – 3 ≥ 4y + 13 – 3 9y ≥ 4y + 10 9y – 4y ≥ 4y – 4y + 10 5y ≥ 10 5y : 5 ≥ 10 : 5 y ≥ 2 jadi HP = {2, 3, 4, 5, 6}